ゆるゆる べんきょう

暇だから哲学・数学・物理学をゆるく勉強しているよ

JJ桜井 量子力学 2章後半

シュレディンガー方程式をx-表示することで時間に依存する波動方程式が導出される。特に定常状態においては時間依存性が位相の回転で表されることを利用することで、両辺の時間依存項を消去することで時間に依存しない波動方程式が得られる。これを解くことでエネルギー準位が量子化されることが示される。さて、波動関数 ψ(x,t)の物理的解釈は、そのノルムは確率密度を表し、その位相(のナブラ)は確率の流れ j と密接に関わっていることがわかる。

 

シュレディンガー方程式の初等的に解ける問題がいくつか存在する。3次元空間の自由粒子は平面波で表される。調和振動子はエルミート多項式で表される。線形ポテンシャルではエアリー関数で表される。また、WKB近似と呼ばれる近似手法があげられる。これはポテンシャルエネルギーが変化する特徴的な長さと比べ、波長の長さがずっと短い(粒子的)時に使える。

 

さて、波動力学の用語であるところのプロパゲータ(始状態の波動関数に作用して終状態の波動関数を得るための積分演算子積分核)に注目する。この物理学的意味を考えると、これは以前のある時刻t0に正確にx'に局在していた粒子の時刻tにおける波動関数である。これをすべてのx'について足し合わせる(積分)することで、求める波動関数が得られるのである。プロパゲータは、ハイゼンベルグ表示における確率振幅<x'',t|x',t0>と同一であり、前述の物理学的な解釈とも整合的である。

 

この確率振幅に任意の数だけ恒等演算子を挟むことで経路積分の形に行き着く。古典論と異なるのは、(古典論では最小作用となる単一の経路に関する経路の積分をとるのとことなり)、すべての可能な経路の和をとらねばならないところである。

 

ポテンシャルの原点を変えるようなゲージ変換に対しては、波動関数は(tに依存する)位相のずれとして現れる。このことは電位の異なる筒を通る粒子が干渉縞をつくるという量子的効果を予測する。同様に、hbar/m が無視できないような場合、重力場による量子干渉を起こすことが予測され、実際に実験で確かめられている。

 

電磁気学におけるスカラーポテンシャルは前述と同様の効果である。ベクトルポテンシャルの任意性、すなわちゲージ変換は波動関数の位相部分に効いてくる(S→S+eΛ/c)となる。これは確率密度も確率の流れもゲージ不変であることを示す。一方、この位相の変化は量子力学的な干渉を予測する。すなわちアハロフノフボーム効果を説明する。

JJ桜井 量子力学 2章前半

2章は「量子ダイナミクス

 

時間発展のユニタリ演算子を求め、シュレディンガー方程式を導出する。ハミルトニアンと交換可能な演算子の固有ケットであれば解が容易に求まることを示す。この時期待値の時間依存性がないことから固有ケットは定常状態と呼ばれる。そうでない場合、期待値を構成する各項が振動しており、スピン歳差運動やニュートリノ振動を説明する。

 

状態ケットが時間変化するのがシュレディンガー表示ならば、演算子が時間変化するとみなすのがハイゼンベルグ表示である。ハイゼンベルグ表示は古典論から量子論を導くのに有用であるが、スピンのように古典論で対応関係がないものは推理するしかない。エーレンフェストの定理は古典的粒子のようにふるまうことが示される。

 

調和振動子の形のハミルトニアンは様々な物理現象で出てくる。生成演算子と消滅演算子を導入することでエレガントに解くことができる。振動子の時間的発展はベーカーハウスドルフの補助定理を利用することで、古典的粒子のものと同等のものを導くことができる。しかし、期待値をとると(当然)ゼロになる。古典的粒子と同じように振動するような状態ケットはコヒーレント状態とよばれ、消滅演算子の固有方程式を解くことで得られる。

 

 

 

 

 

JJ桜井 量子力学1章

1章は「基礎概念」

 

シュテルンゲルラッハの実験(Ag原子線を磁場で分離)を使って量子の特殊性を説明。ディラックによる数学的な定式化を示す。ブラ、ケット、観測量、完全系、エルミート性、射影演算、観測、位置表示、運動表示、両立する観測量、不確定性関係、交換関係、ガウスの波束。

 

特に難しいところはない。やはり量子論の特異な部分、すなわちスピンのz成分が2値しかとらないことから議論を丁寧に組み立てていく。シュレディンガー方程式はまだ出てきていないのに、平面波が運動量pでの固有状態であることが導出されるのがなかなかの見どころ。

2017-07: 哲学史を学んで

---- 哲学史を学んでいたということですが

はい。様々な哲学者の思想をざっと俯瞰してみたかったです。特に哲学から科学が分岐するところに興味がありました。また、自分一人で考えるとどうしても視野が狭くなってしまうので、前人の思想をお借りして思索を深めたいと考えました。

 

---- そもそもどのような思索をしたいと思っていたんですか?

私自身の生き方を確立したいのです。お金に関してはなんとかなる算段ができました。つまり「どうやって生きるか」はなんとか目途が経ちました。あとは「何のために生きるか」と「いかに死ぬか」が私の当面の課題です。いかにも陳腐な課題ですが、これは人によって答えが違うので私自身で考え答えを出さなければいけないといけないという義務感を持っています。

 

---- 何かしらの答えはでたのですか?

まあ。四つの要素「生命維持・認識・価値判断・行動」を意識しつつ日々を生きようと思っています。生命維持は主にお金を稼いで使って生活をすることです。認識は、どのようなバイアスがあるかを極力意識しながら、世界を自分なりに解釈し取り込むことです。価値判断は、自分なりの価値基準を持ち、認識した世界に対し「良い・悪い」「すべき・すべきでない」といった判断を行うことです。行動は、自分から世界へ働きかけることです。

生きる上で、全てのことをこれらと関連付け、一貫した自我を持ち続けていこうと思います。

 

---- 哲学史で印象に残っている哲学者を教えてください

アリストテレスです。学問の祖ですし、彼の論理学はごく最近まで色あせることなく使われ続けてきました。デカルトの我思う故に我有りもいいですね。カントも経験主義と合理主義を見事に調和させたこと、また彼の義務の倫理感は現代でも色あせないと思います。ヴィトゲンシュタインは哲学的問い、そのものにバッサリ切りこんだ点で興味深いですし、実存主義の面々サルトル・キエルケゴール・カミュなどは現代における問題点を浮き彫りにしていると思います。

 

---- やり残したことがあれば

いくらでもあります。機会を見つけてテーマを絞って勉強しなおしたいと思います。分析哲学実存主義あたりをやっておきたいです。中華思想はほとんどやっていないので時間があればさらっとやってみたいかな(それほど興味はないけれど)

 

書評:ソフィーの世界

ゴルデル:ソフィーの世界

https://www.amazon.co.jp/dp/4140802235/

 

〇:一人一人の哲学者に多くの文字を割いている

〇:小説風味になっており、初読では頭をガツンとなぐられた気分

×:長い 長すぎる

×:現代の哲学者に関してはあまり触れられていない

×:著者の倫理が至る所に巻き散らかされている

 

 

バークリーが怖かった。ソフィーがかわいそう。

 

書評:大論争!哲学バトル

大論争!哲学バトル

https://www.amazon.co.jp/dp/4046013109

 

を読みました。大衆向けの哲学関連の書籍です。

哲学者同士に「対話」させることで現代の各種問題(格差は容認されるか?生きる意味はなにか?)にたいして議論する。

 

哲学者をイラストで描いてくれるので非常に印象に残る。

 

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軽快な形なのでさらっと読める。

 

まあ楽しかったかな

倫理・価値判断・行動規範

「・・である」という事実を表す命題の集まりから、「・・・すべき」であったり「・・・は正しい」だったり「・・・するのが望ましい」というような命題を推論することはできない。これらの命題には価値判断という主観的な要因が混じるからだ。しかし私(たち)はこれらの命題に対して真偽を問いたいのだ。

 

  • 私は(生きるにあたって)何をするべきか?何のために生きるのか?

 

一般的にこれらは倫理という言葉で語られ、哲学ではたびたび論じられてきた。「・・・するべき」という術語と「・・・は正しい」という術語は同値なのだろうか?すなわち「するべきことは正しいこと」なのか?「正しいことをするべき」なのだろうか?