ゆるゆる べんきょう

暇だから哲学・数学・物理学をゆるく勉強しているよ

ビットコインにおけるブロックチェーン

各ノードが保有しているほぼ同一な元帳が、ビットコインの価値である。元帳には「価値の移動」を意味するトランザクションが記載されている。すなわちビットコインが最初に生成された時から現在に至るまでのすべて価値の移動(基本的にはビットコインの授受…

ビットコイン勉強

参考書として、「Mastering Bitcoin」を使って、勉強をしてきました。 https://www.bitcoinbook.info/translations-of-mastering-bitcoin/ これから数回に分けて自身が理解したことの概略を記載していきます

2017-06 勉強計画=暗号通貨

流行っているので暗号通貨の勉強でもしてみるよ ビットコインとイーサリアムかな。リップルとかステラーとかもいいかも。

2017-05: 古典論理を学んで

--- 古典論理を学んでいたということですが はい。論理学の基本ですね。アリストテレスの時代から進歩がなかった学問ですが、19世紀末から20世紀で一気に開花した学問です。数学基礎論とか数理論理学と呼ばれている分野です。 ---数学と論理学に関係があるの…

トートロジーと論理的帰結

モデル・値付けw(wα=1)を充足関係 w|=α と捉えなおす。論理式φ∈Fはモデルによって充足したり、しなかったりするが、任意のモデルに対して充足する論理式があり、トートロジーと呼ぶ。任意のモデルに対して充足しない論理式があり、矛盾と呼ぶ。αを充足する任…

命題論理: 同値関係と標準形

n個の原子命題からなる論理式は、#Bn = 2^2^n 個あるf: 2^n → 2 なる関数と同一視できる。この同一視(意味論的同値関係)は、数学でいうところの同値関係(同一律、反射律、推移律を満たす)であるため、n個の原子命題からなる論理式全体からなる集合 Fn は…

1階命題論理: 統語論と意味論

統語論に関するいくつかのメモ 命題論理の論理式は帰納的に定義できる/命題論理の式全体をFとする. π ∈ F で、 α,β ∈ F ⇒ ¬α , α∧β , α∨β ∈F 。部分集合 Sf も帰納的に定義できる Sf π = {π}, Sf ¬α = {¬α}∪Sf α, Sf α○β = {α○β}∪Sf α ∪ Sf β n個の変数か…

参考書

このブログで勉強した素材を一覧化し、寸評します。 古典論理 野矢: 論理学 ★★★★★ https://www.amazon.co.jp/dp/4130120530 3人の対話形式。前提知識不要。東大教授。最初の一歩に最適。 〇:対話形式なので素朴な疑問に答えてくれる 〇:前提知識不要なので…

論理学ちゃんと勉強

とりあえず、論理学の勉強として 野矢 論理学 北田 ゲーデル不完全性定理発見への道 Wikipedia あたりをやって、入門はできたと思う。一方、勘違いも多そうだし、あやふやなまま理解があるであろうことは考えられるので、ここで一つきちんとした教科書で勉強…

北田 発見への道 10章 (終)

10章 ゲーデル述語 前章からの続き。ロッサー文およびゲーデル文に出てくる述語を数値的に表現する。その際、自身のゲーデル数を自身に代入するという事情のため、ゲーデルナンバリング自体が数論的操作であることを示す必要があり、じっさいにそれを示す。 …

北田 発見への道 9章

9章 証明の数値的表現 これまでの議論において、「xは公理である⇔Axiom(x)」や「xは証明列である⇔Proof(x)」といった、ゲーデル数を引数にとる述語を、自然数論の体系 N において再帰的に構成できると述べてきた。それを示している。 なお、「xは証明可能で…

北田 発見への道 8章

8章 証明の再帰性 本書では、ロッサー文を使った証明でゲーデルの不完全性定理を導いた。その際に前提となっている再帰性/帰納性を議論する。 まず、再帰的関数の定義を行い、これを用いると、再帰的述語および再帰的関係を定義することができる。実際、「普…

Wikipedia - ゲーデルの不完全性定理

なんか色々誤解をしてそうなのでWikipedia(en) も読むことにしたい。 Gödel's incompleteness theorems - Wikipedia これからも追記予定 二つの完全性 syntactically complete: Aもしくは¬Aが証明できる semantically complete: 全ての恒真式が証明可能 ・…

北田 発見への道 7章

7章 ゲーデルナンバリング 項・式・証明列が与えられた時、それらを一意に自然数にエンコードすることが可能である。このエンコードの規則をゲーデルナンバリングと呼ぶ(その実装には任意性がある)。その自然数を体系内の自然数と同一視し、変数x にその自…

北田 発見への道 6章

6章 述語計算の完全性 話を少し戻して、述語論理における対象の変域が有限個と可算無限個の場合では、無矛盾性の議論に違いがあることを指摘。加算無限個の場合では、直観主義で排除されている手法を利用している。これを認めるような述語論理を集合論的述語…

北田 発見への道 5章

5章 述語計算の無矛盾性 今度は述語計算。統語論を定め、推論規則を3つ(MP, GEN, SPEC)提示し、命題論理の公理系11こを引き継ぎ、新たに4つの公理を追加する。 真理値の付与は命題論理の場合よりやや複雑になる。すなわち命題の真理値は、述語関数の意味と、…

北田 発見への道4章

4章 命題計算の完全性 拡張命題論理と称するモノから完全性に迫る。すなわち命題式の論理式に対して、命題変数の閉包をとる操作を行うと、(自然数論では変数記号に関する閉包をとる限りこのような事情は発生しない)、任意の式は真理値1か0のみをとるように…

北田 発見への道 3章

3章 命題計算の無矛盾性 いったん命題理論から始める。しかし本書では一貫して自然数論Sを前提に置いているため、命題変数は自然数論における命題と同一視する。命題論理自身もSの影としてみる立場のようだ。 統語論、推論規則(MP1つ)、公理系(11こ)を提…

北田 発見への道 1-2章

発見への道 1章 不完全性定理とはなにか ・自然数論を含む理論Sを考える ・Sには反証できない命題Gが存在する=ゲーデルの第一不完全性定理 ・これは統語論的不完全性と呼ばれる ・Gは「私は証明できない」という意味の命題 ・Gはメタレベルの命題であり、自…

北田 発見への道の勉強開始

今日からしばらく以下のテキストブックでゲーデル不完全性定理を勉強する 「理系への数学」に連載していたものをまとめたもののようだ。ぱっと見たところ、メタな議論をすることに特化している模様。日本語が多いので読みやすい。ゲーデルナンバリングの振り…

野矢論理学 5章

ゲーデルの不完全性定理の概観。なぞっても面白くないので自分なりに再構成。 自然数論を含む公理系Nは、矛盾しているか、不完全である(ゲーデルの第一の不完全性定理)。そして、Nの無矛盾性は、有限の立場では証明することができない(ゲーデルの第二の不…

野矢論理学 4章

直観論理についての概説。排中律が否定されるとともに、古典論理では妥当であったいくつかの定理が成り立たないことを示す。例えば、次のものは直観論理では成立しない:否定除去型の背理法(¬Aを仮定して矛盾を示せば、Aが示せる)、二重否定除去(¬¬Aか…

野矢論理学 3章

ラッセルのパラドクスが生まれる歴史を振り返る。パラドクスが起きるのは二階論理に相当することをしていることを示し、論理学と数学は異なることを強調。パラドクスに対して、3つの反応があることを示す。つまり、論理主義・直観主義・形式主義。 直観主義…

野矢論理学 2章

アリストテレスのオルガノンの概説。256通りの三段論法のうち、24の正しいものを、4の正しいと思われる論法から証明したとのこと。一方、多重量子化や固有名、関係文を扱う上で問題があることを提示し、フレーゲの開発した述語論理へと話をつなげていく。述…

野矢論理学 1章

命題論理の意味論と構文論。意味論は真理値分析をやって、あとシェファーの縦棒をやって、トートロジーの説明をして、推論をやった。ならばに「⊃」、意味論の推論に「→」を使っているのが特徴的。まぁ別にいいけど。構文論はLPと呼ばれる、公理4つと導出規…

2017-05 の勉強計画

5月は論理学をやろうかな 初歩的なやつ。1階述語論理+ゲーデルの不完全性定理。あと様相論理について概要を知りたいかも 教材は、持ってる以下の本を前半にやって、後半は図書館かKindleでなにかを調達しようと思う 定番 論理学 | 野矢 茂樹 |本 | 通販 | A…

2017-04: 集合論を学んで

2017-04 は集合論を主に学びました --- 最近は集合論を学んでいたようですね そうですね。正確にはBNGの公理的集合論を学んでいたというのが正確な表現になると思います。公理的集合論というのは、カントールが開拓した集合論(素朴集合論)を、論理学の方法…

ブックレポート「無限への飛翔」

紀伊国屋書店発行の、大人のための数学3を図書館で借りて読んだ www.amazon.co.jp 素朴集合論の本で、基数・順序数の説明。選択公理の概略。カントールの生涯。若干の叙述的な記載。あくまで入門、というか概要をなめただけなので数時間で読破。哲学的、ま…

自然数・基数・序数

頭の整理がてら自然数と、基数、序数についてまとめてみた 有限な例として、A={Jan, Feb, Mar} なる集合の基数を定義に従って求めよう。Aとequiponent な ordinals のclassを考え、その要素の中で最小の ordinals 、すなわち initial ordinals は何かと考え…

基数(カーディナル数)

要素数・サイズに相当するのがカーディナル数。カーディナル数の公理を導入する(のちの章で構成可能なので、この公理は冗長となる)。 基数に関して、和および積を定義し、それに関する計算が示される。また基数に関しても順序関係≦が定義できる。実際、す…

無限集合

ここからは、カントールの集合論に合流するのでさらっとやって終わりにしよう。章でいうと7章~ 集合のサイズは 1対1対応の関係でそのサイズを測る。自然数で構成される集合をωと呼ぶ。ωと同じサイズの集合は可算集合であり、整数全体Zや、有理数全体のQが同…

自然数

自然数を 0 = Φ, 1 = 0∪{0}, 2=1∪{1}, ... で自然数を定義し、全ての自然数を含むような集合として、suscessor set が存在するという公理を採用する。この公理を用いると、ペアノの各種公理が「証明できる」。 自然数が定義できると、漸化式のような finite …

選択公理

f: Power(A) - {Φ} ->A なる選択関数が、任意の集合について存在するという公理が選択公理である。実際に構成してみるのではなく、その存在を示しているという定理。 選択公理は、他の公理とは独立であるため、選択公理を採用しない集合論もあってよいはずで…

チートシート

わかりづらくて忘れやすい概念を図にしてみた。

レポート: 集合論いったんまとめ

基本となる概念を大体学んだので、textbookを読み返して、書かれていることを整理してみた。復習というか、リマインダとしては使えると思うので、ここに記載する。 集合論 集合論は、一階述語論理に対し二項述語「∈」を加えて構成される理論である。なお、集…

ポセット(半順序集合)

集合Aにおける順序関係に関連していくつかの用語が定義される。「chain, initial segment, cut」 poset A, B 間の関数f に関して、いくつかの用語が定義できる。「increasing/order-preserving, isomorphism」 (poset A, B 間にisoなfunctionが存在するとき…

同値関係

同値関係Gが集合Aにおいて定義されるということは、集合Aをパーティション分割することに等しい。パーティションとは、集合をナイフで分割するように、互いに共通部分が存在しないサブクラスを指す。全てのパーティションの和集合をとると、当然Aになる。冒…

二項関係

集合論でなく、論理学で二項関係はやったので簡単にやっつけられそう 集合論では A×A のサブクラスで関係を定義できる。これは、「サブクラスR に含まれる要素のみが、関係Rを真たらしめるものだ」というように解釈することに相当する。まぁ確かにそう解釈す…

函数

集合論の立場からは、グラフと関数は同一視できる(グラフの概念で関数を定義できる)関数といえば単射・全射・全単射などの性質を定義できる 関数の具体例として、以下があげられる identity function(なにもしない), constant function (値域が一つの値), …

導入・オントロジー・各種概念

集合論においてアプリオリに存在し、研究の対象とするのは、含み、また含まれる対象である「クラス(A,B,C,...,x,y,z...)」と、含むという二項関係「∈」である この二つの概念を元に、「等しい」、「包含関係(順序関係)」が定義される。「等しい」という関…

a Book of Set Theory

Doverから出版されている、Kindle版の集合論の本が手元にあるのでしばらくはこれを読んでいこうかなと思う これ、2000円もしなかった www.amazon.co.jp Doverは安くていいね ジャンルとしては、公理的集合論に分類される 公理的集合論 - Wikipedia 公理的集…

けいかく

毎日暇だし、計画立てて勉強してみることにしたよ 4月は論理学と集合論の知識をアップデートしようかな 5月は数学のなんかをやろうかな 6月は量子論を計画中 まぁ先のことはゆっくり決めればいいかなあ