ゆるゆる べんきょう

暇だから哲学・数学・物理学をゆるく勉強しているよ

JJ桜井 量子力学 2章後半

シュレディンガー方程式をx-表示することで時間に依存する波動方程式が導出される。特に定常状態においては時間依存性が位相の回転で表されることを利用することで、両辺の時間依存項を消去することで時間に依存しない波動方程式が得られる。これを解くこと…

JJ桜井 量子力学 2章前半

2章は「量子ダイナミクス」 時間発展のユニタリ演算子を求め、シュレディンガー方程式を導出する。ハミルトニアンと交換可能な演算子の固有ケットであれば解が容易に求まることを示す。この時期待値の時間依存性がないことから固有ケットは定常状態と呼ばれ…

JJ桜井 量子力学1章

1章は「基礎概念」 シュテルンゲルラッハの実験(Ag原子線を磁場で分離)を使って量子の特殊性を説明。ディラックによる数学的な定式化を示す。ブラ、ケット、観測量、完全系、エルミート性、射影演算、観測、位置表示、運動表示、両立する観測量、不確定性…

2017-07: 哲学史を学んで

---- 哲学史を学んでいたということですが はい。様々な哲学者の思想をざっと俯瞰してみたかったです。特に哲学から科学が分岐するところに興味がありました。また、自分一人で考えるとどうしても視野が狭くなってしまうので、前人の思想をお借りして思索を…

書評:ソフィーの世界

ゴルデル:ソフィーの世界 https://www.amazon.co.jp/dp/4140802235/ 〇:一人一人の哲学者に多くの文字を割いている 〇:小説風味になっており、初読では頭をガツンとなぐられた気分 ×:長い 長すぎる ×:現代の哲学者に関してはあまり触れられていない ×:…

書評:大論争!哲学バトル

大論争!哲学バトル https://www.amazon.co.jp/dp/4046013109 を読みました。大衆向けの哲学関連の書籍です。 哲学者同士に「対話」させることで現代の各種問題(格差は容認されるか?生きる意味はなにか?)にたいして議論する。 哲学者をイラストで描いて…

倫理・価値判断・行動規範

「・・である」という事実を表す命題の集まりから、「・・・すべき」であったり「・・・は正しい」だったり「・・・するのが望ましい」というような命題を推論することはできない。これらの命題には価値判断という主観的な要因が混じるからだ。しかし私(た…

野家 科学哲学 第三部

第三部は科学社会学 13章から15章 マートンはCUDOS(公有性・普遍性・無私性・組織的懐疑主義)と呼ばれる規範を提示した。そして、科学の健全な発展には民主主義社会の成立が不可欠の条件となると考えた。しかしこれは理想主義的だとされてしまっている。こ…

野家 科学哲学 第二部

第二部は科学哲学 第7章から12章 科学的な方法としての演繹・帰納はアリストテレスにより整備された。特に演繹は論理学として知られている。帰納法は経験に基づく手法であるため、帰納法に正当化を与えることに多くの人が苦心している。これを踏まえた仮説演…

野家 科学哲学 第一部

第一部は科学史。1章から6章まで 古代ギリシャでは、アリストテレスによる自然観を押さえておけばよい。ドグマとして(1)天上と地上の根本的区別(2)天体の動力としての天球の存在(3)天体の自然運動としての一様な円運動。惑星の運動はエカントと呼ば…

7月の勉強予定は哲学史

7月は哲学史をやろうかなぁと思います。 まずは野家さんの「科学哲学への招待」をよんで、「ソフィーの世界」でざっと概観して、山川出版の「哲学」あたりで復習して、気になる哲学者について少し深めに勉強しようかな。カント・ヘーゲル・ヴィトゲンシュタ…

2017-06: 暗号通貨を学んで

---- 暗号通貨を学んでいたとのことですがはい。主にビットコインについて学びましたが、他の暗号通貨にも手を出していました。具体的にはライトコイン・イーサリアム・リップル等ですね。これらのアルトコインと呼ばれる仮想通貨にも触れることで、ビットコ…

ビットコインにおけるブロックチェーン(続き)

ブロックチェーンというが実際はブロックヘッダチェーンといったほうが正しいように思われる。各マイナーは、ブロックヘッダのsha254のチェックサムがターゲット数以下になるように、様々なブロックヘッダを試行する。この時に変化させるのはnounceと呼ばれ…

ビットコインにおけるブロックチェーン

各ノードが保有しているほぼ同一な元帳が、ビットコインの価値である。元帳には「価値の移動」を意味するトランザクションが記載されている。すなわちビットコインが最初に生成された時から現在に至るまでのすべて価値の移動(基本的にはビットコインの授受…

ビットコイン勉強

参考書として、「Mastering Bitcoin」を使って、勉強をしてきました。 https://www.bitcoinbook.info/translations-of-mastering-bitcoin/ これから数回に分けて自身が理解したことの概略を記載していきます

2017-06 勉強計画=暗号通貨

流行っているので暗号通貨の勉強でもしてみるよ ビットコインとイーサリアムかな。リップルとかステラーとかもいいかも。

2017-05: 古典論理を学んで

--- 古典論理を学んでいたということですが はい。論理学の基本ですね。アリストテレスの時代から進歩がなかった学問ですが、19世紀末から20世紀で一気に開花した学問です。数学基礎論とか数理論理学と呼ばれている分野です。 ---数学と論理学に関係があるの…

トートロジーと論理的帰結

モデル・値付けw(wα=1)を充足関係 w|=α と捉えなおす。論理式φ∈Fはモデルによって充足したり、しなかったりするが、任意のモデルに対して充足する論理式があり、トートロジーと呼ぶ。任意のモデルに対して充足しない論理式があり、矛盾と呼ぶ。αを充足する任…

命題論理: 同値関係と標準形

n個の原子命題からなる論理式は、#Bn = 2^2^n 個あるf: 2^n → 2 なる関数と同一視できる。この同一視(意味論的同値関係)は、数学でいうところの同値関係(同一律、反射律、推移律を満たす)であるため、n個の原子命題からなる論理式全体からなる集合 Fn は…

1階命題論理: 統語論と意味論

統語論に関するいくつかのメモ 命題論理の論理式は帰納的に定義できる/命題論理の式全体をFとする. π ∈ F で、 α,β ∈ F ⇒ ¬α , α∧β , α∨β ∈F 。部分集合 Sf も帰納的に定義できる Sf π = {π}, Sf ¬α = {¬α}∪Sf α, Sf α○β = {α○β}∪Sf α ∪ Sf β n個の変数か…

参考書

このブログで勉強した素材を一覧化し、寸評します。 哲学史 野家: 科学哲学への招待 ★★★★★ https://www.amazon.co.jp/dp/4480095756/ 三部構成(科学史・科学哲学・科学社会学)で全15回の科学哲学の本。大学教養課程相当 〇:適度な長さ、簡潔な表現、前提条…

論理学ちゃんと勉強

とりあえず、論理学の勉強として 野矢 論理学 北田 ゲーデル不完全性定理発見への道 Wikipedia あたりをやって、入門はできたと思う。一方、勘違いも多そうだし、あやふやなまま理解があるであろうことは考えられるので、ここで一つきちんとした教科書で勉強…

北田 発見への道 10章 (終)

10章 ゲーデル述語 前章からの続き。ロッサー文およびゲーデル文に出てくる述語を数値的に表現する。その際、自身のゲーデル数を自身に代入するという事情のため、ゲーデルナンバリング自体が数論的操作であることを示す必要があり、じっさいにそれを示す。 …

北田 発見への道 9章

9章 証明の数値的表現 これまでの議論において、「xは公理である⇔Axiom(x)」や「xは証明列である⇔Proof(x)」といった、ゲーデル数を引数にとる述語を、自然数論の体系 N において再帰的に構成できると述べてきた。それを示している。 なお、「xは証明可能で…

北田 発見への道 8章

8章 証明の再帰性 本書では、ロッサー文を使った証明でゲーデルの不完全性定理を導いた。その際に前提となっている再帰性/帰納性を議論する。 まず、再帰的関数の定義を行い、これを用いると、再帰的述語および再帰的関係を定義することができる。実際、「普…

Wikipedia - ゲーデルの不完全性定理

なんか色々誤解をしてそうなのでWikipedia(en) も読むことにしたい。 Gödel's incompleteness theorems - Wikipedia これからも追記予定 二つの完全性 syntactically complete: Aもしくは¬Aが証明できる semantically complete: 全ての恒真式が証明可能 ・…

北田 発見への道 7章

7章 ゲーデルナンバリング 項・式・証明列が与えられた時、それらを一意に自然数にエンコードすることが可能である。このエンコードの規則をゲーデルナンバリングと呼ぶ(その実装には任意性がある)。その自然数を体系内の自然数と同一視し、変数x にその自…

北田 発見への道 6章

6章 述語計算の完全性 話を少し戻して、述語論理における対象の変域が有限個と可算無限個の場合では、無矛盾性の議論に違いがあることを指摘。加算無限個の場合では、直観主義で排除されている手法を利用している。これを認めるような述語論理を集合論的述語…

北田 発見への道 5章

5章 述語計算の無矛盾性 今度は述語計算。統語論を定め、推論規則を3つ(MP, GEN, SPEC)提示し、命題論理の公理系11こを引き継ぎ、新たに4つの公理を追加する。 真理値の付与は命題論理の場合よりやや複雑になる。すなわち命題の真理値は、述語関数の意味と、…

北田 発見への道4章

4章 命題計算の完全性 拡張命題論理と称するモノから完全性に迫る。すなわち命題式の論理式に対して、命題変数の閉包をとる操作を行うと、(自然数論では変数記号に関する閉包をとる限りこのような事情は発生しない)、任意の式は真理値1か0のみをとるように…

北田 発見への道 3章

3章 命題計算の無矛盾性 いったん命題理論から始める。しかし本書では一貫して自然数論Sを前提に置いているため、命題変数は自然数論における命題と同一視する。命題論理自身もSの影としてみる立場のようだ。 統語論、推論規則(MP1つ)、公理系(11こ)を提…

北田 発見への道 1-2章

発見への道 1章 不完全性定理とはなにか ・自然数論を含む理論Sを考える ・Sには反証できない命題Gが存在する=ゲーデルの第一不完全性定理 ・これは統語論的不完全性と呼ばれる ・Gは「私は証明できない」という意味の命題 ・Gはメタレベルの命題であり、自…

北田 発見への道の勉強開始

今日からしばらく以下のテキストブックでゲーデル不完全性定理を勉強する 「理系への数学」に連載していたものをまとめたもののようだ。ぱっと見たところ、メタな議論をすることに特化している模様。日本語が多いので読みやすい。ゲーデルナンバリングの振り…

野矢論理学 5章

ゲーデルの不完全性定理の概観。なぞっても面白くないので自分なりに再構成。 自然数論を含む公理系Nは、矛盾しているか、不完全である(ゲーデルの第一の不完全性定理)。そして、Nの無矛盾性は、有限の立場では証明することができない(ゲーデルの第二の不…

野矢論理学 4章

直観論理についての概説。排中律が否定されるとともに、古典論理では妥当であったいくつかの定理が成り立たないことを示す。例えば、次のものは直観論理では成立しない:否定除去型の背理法(¬Aを仮定して矛盾を示せば、Aが示せる)、二重否定除去(¬¬Aか…

野矢論理学 3章

ラッセルのパラドクスが生まれる歴史を振り返る。パラドクスが起きるのは二階論理に相当することをしていることを示し、論理学と数学は異なることを強調。パラドクスに対して、3つの反応があることを示す。つまり、論理主義・直観主義・形式主義。 直観主義…

野矢論理学 2章

アリストテレスのオルガノンの概説。256通りの三段論法のうち、24の正しいものを、4の正しいと思われる論法から証明したとのこと。一方、多重量子化や固有名、関係文を扱う上で問題があることを提示し、フレーゲの開発した述語論理へと話をつなげていく。述…

野矢論理学 1章

命題論理の意味論と構文論。意味論は真理値分析をやって、あとシェファーの縦棒をやって、トートロジーの説明をして、推論をやった。ならばに「⊃」、意味論の推論に「→」を使っているのが特徴的。まぁ別にいいけど。構文論はLPと呼ばれる、公理4つと導出規…

2017-05 の勉強計画

5月は論理学をやろうかな 初歩的なやつ。1階述語論理+ゲーデルの不完全性定理。あと様相論理について概要を知りたいかも 教材は、持ってる以下の本を前半にやって、後半は図書館かKindleでなにかを調達しようと思う 定番 論理学 | 野矢 茂樹 |本 | 通販 | A…

2017-04: 集合論を学んで

2017-04 は集合論を主に学びました --- 最近は集合論を学んでいたようですね そうですね。正確にはBNGの公理的集合論を学んでいたというのが正確な表現になると思います。公理的集合論というのは、カントールが開拓した集合論(素朴集合論)を、論理学の方法…

ブックレポート「無限への飛翔」

紀伊国屋書店発行の、大人のための数学3を図書館で借りて読んだ www.amazon.co.jp 素朴集合論の本で、基数・順序数の説明。選択公理の概略。カントールの生涯。若干の叙述的な記載。あくまで入門、というか概要をなめただけなので数時間で読破。哲学的、ま…

自然数・基数・序数

頭の整理がてら自然数と、基数、序数についてまとめてみた 有限な例として、A={Jan, Feb, Mar} なる集合の基数を定義に従って求めよう。Aとequiponent な ordinals のclassを考え、その要素の中で最小の ordinals 、すなわち initial ordinals は何かと考え…

基数(カーディナル数)

要素数・サイズに相当するのがカーディナル数。カーディナル数の公理を導入する(のちの章で構成可能なので、この公理は冗長となる)。 基数に関して、和および積を定義し、それに関する計算が示される。また基数に関しても順序関係≦が定義できる。実際、す…

無限集合

ここからは、カントールの集合論に合流するのでさらっとやって終わりにしよう。章でいうと7章~ 集合のサイズは 1対1対応の関係でそのサイズを測る。自然数で構成される集合をωと呼ぶ。ωと同じサイズの集合は可算集合であり、整数全体Zや、有理数全体のQが同…

自然数

自然数を 0 = Φ, 1 = 0∪{0}, 2=1∪{1}, ... で自然数を定義し、全ての自然数を含むような集合として、suscessor set が存在するという公理を採用する。この公理を用いると、ペアノの各種公理が「証明できる」。 自然数が定義できると、漸化式のような finite …

選択公理

f: Power(A) - {Φ} ->A なる選択関数が、任意の集合について存在するという公理が選択公理である。実際に構成してみるのではなく、その存在を示しているという定理。 選択公理は、他の公理とは独立であるため、選択公理を採用しない集合論もあってよいはずで…

チートシート

わかりづらくて忘れやすい概念を図にしてみた。

レポート: 集合論いったんまとめ

基本となる概念を大体学んだので、textbookを読み返して、書かれていることを整理してみた。復習というか、リマインダとしては使えると思うので、ここに記載する。 集合論 集合論は、一階述語論理に対し二項述語「∈」を加えて構成される理論である。なお、集…

ポセット(半順序集合)

集合Aにおける順序関係に関連していくつかの用語が定義される。「chain, initial segment, cut」 poset A, B 間の関数f に関して、いくつかの用語が定義できる。「increasing/order-preserving, isomorphism」 (poset A, B 間にisoなfunctionが存在するとき…

同値関係

同値関係Gが集合Aにおいて定義されるということは、集合Aをパーティション分割することに等しい。パーティションとは、集合をナイフで分割するように、互いに共通部分が存在しないサブクラスを指す。全てのパーティションの和集合をとると、当然Aになる。冒…