同値関係

同値関係Gが集合Aにおいて定義されるということは、集合Aをパーティション分割することに等しい。パーティションとは、集合をナイフで分割するように、互いに共通部分が存在しないサブクラスを指す。全てのパーティションの和集合をとると、当然Aになる。冒頭の言明は、同値関係にある集合Aの各要素同士が同一のパーティションに分類されるということを指す。

A上で定義された同値関係Gに対して、AのサブクラスBにおける対応する同値関係をG[B] と書き、GのBに対する制約という。

A上で定義された同値関係G,Hにおいて、HがGを包含するとき、HはGより「細かい」といい、quotient という演算ができる。これは H/G というように表記して、 H/G = {(Gx,Gy): (x,y) ∈ H} というような集合をつくる演算である。なお、H/G は A/G において同値関係となる

同値関係Gは関数f: A→B からも生成することができる。すなわち、同一の値を持つ x, y : f(x) = f(y) を同値関係を持たせるのである。逆に同値関係Gが定義されているとき、 f: A→A/G なる関数f を簡単に作成することができ（つまり f(x) = Gx とする）、この関数をカノニカル関数という。

A/G と B は一対一対応の関係にあるという重要な定理が導かれる。

若干ややこしいが、図で書いてみると当たり前のことしか言っていないよな気がするね

次回は poset すなわち、順序関係について勉強