レポート: 集合論いったんまとめ
基本となる概念を大体学んだので、textbookを読み返して、書かれていることを整理してみた。復習というか、リマインダとしては使えると思うので、ここに記載する。
集合論は、一階述語論理に対し二項述語「∈」を加えて構成される理論である。
なお、集合論で項をクラスと呼ぶため、すべての項はクラスである。
1章
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・公理A1「axiom of extent」により、二項述語「＝」が定義できる。
・述語∈から、二項述語「⊆、⊂、⊃、⊇」が定義できる。
・述語⊆から、一項演算子「Pow」が定義できる。
・公理A2「axiom of construction」により、内包表現によりクラスを構成できる。
・A2より二項演算子「∪、∩」が定義できる
・A2より一項述語「・はユニバーサルクラス」「・は空クラス」が定義できる。
・述語∈から、一項演算子「'」（補集合）が定義できる。
・演算子'と演算子∩から二項演算子「-」が定義できる。
・A2から、一項述語「・はシングルトン」、「・はダブルトン」、「・は順序対」が定義できる。
・順序対から二項演算子「×」が定義できる。
・順序対から一項述語「・はグラフ」が定義できる。
・グラフに対して、一項演算子「-1」(逆)二項演算子「。」（合成）が定義できる。
・述語∈から、一項述語「・は集合」が定義できる（集合は要素の別名である）。
・公理A3「集合のサブクラスは集合である」
・公理A4「空クラスは集合である」
・公理A5「集合と集合のダブルトンは集合である」
・公理A6「Aが集合の集合なら、∪Aは集合である」
・公理A7「Aが集合なら、AのPowも集合である」
・公理A8「Aが集合なら、a∩Aが空クラスとなる要素aが存在する」
2章
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・関数はある種の条件を満たしたグラフとしても定義できる
・関数に対して、一項述語「・はINJ（単射）」「・はSURJ（全射）」「・はBIJ（全単射）」が定義できる。
・関数に対して一項述語「・はinvertible」が定義できる。
・一対一対応に対するクラスに対して述語「≈」が定義できる。
・関数を利用して、インデックスされたクラス達の積Πが定義できる
・関数を利用して、二項演算子「^」（べき乗）が定義できる
・関数「2^A」と関数「Pow(A)」は一対一対応にある
・A9「axiom of replacement」関数f: A->B でAが集合でfが全射ならBは集合
・A9より有限要素数のクラスは集合であることが示される。
・インデックスクラスが集合であれば、インデックスされたクラス達は集合である
3章
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・関係とは二項述語であり、それらの特徴は、「反射律、[反]対称律、推移律で測られる。
・グラフが関係を特徴づける（個々の要素に対して、関係の真偽や反射律等の成否を与える）。
・主に同値関係と、半順序関係を研究の対象とする。
・同値関係から、述語「～」が定義できる。
・同値関係から、述語「・は・を法とする・の同値クラス」が定義できる。
・同値クラスから、二項演算「A/G」が定義できる（集合の全ての要素の同値クラスを要素とする集合）。
・A/GはAのパーティションであることが示される。
・二つの粒度の異なる同値関係から、二項演算子「/」(quotient)が定義できる。
・同値関係Gが存在する際、カノニカル関数f:A->A/Gが定義できる。
・任意の関数fは t。s。r と分解できる。rはカノニカル関数である。
・上記は A -> A/G -> f(A) -> B と記載される。
・A/G->B なる関数として、関数のquointient「f/G」が定義できる。
4章
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・半順序クラスの要素に対して述語「≦」および「・と・は比較可能」が定義できる。
・半順序クラスのサブクラスに対して「・はchain」である（完全に順序付けされた・線形に順序づけされた）が定義できる。
・半順序クラスの要素から、「initial segment」が定義される。
・半順序関係クラスから、カットと呼ばれる操作が定義される。
・半順序関係クラスから、半順序関係の関数に対して、「・はincreasing/order preverving」が定義される
・半順序関係クラスから、半順序関係の関数に対して、「・はisomorphism」が定義される
・二つの半順序関係に対して述語「・は・とisomorphic」「≊」が定義できる。
・半順序クラスの要素に対して、述語「・はmax/min」が定義できる。
・半順序クラスの要素に対して、述語「・はgreatest/least」が定義できる。
・半順序クラスのサブクラスに対して、演算「v(・), λ(・)」(upper bounds, lower bounds)が定義できる。
・半順序クラスとそのサブクラスに対して「sup, inf」が定義できる。
・半順序クラスに対して、述語「・はconditionally complete」が定義できる。
・半順序クラスに対して、述語「・はlattice」が定義できる。
・半順序クラスに対して、述語「・はcomplete lattice」が定義できる。
・半順序クラスに対して、述語「・はfully ordered」が定義できる。
・半順序クラスに対して、述語「・はwell ordered」が定義できる。
・半順序クラスの要素に対して、述語「・は・のimmediate successor」が定義できる。
・半順序クラスの要素に対して、述語「・は・のsection」が定義できる。
・IND「principle of transfinite induction」が証明できる。
・well ordered なクラス同士はisomorphic か、どちらかがどちらかのinitial segmentとなることが示される。
