ゆるゆる べんきょう

暇だから哲学・数学・物理学をゆるく勉強しているよ

選択公理

f: Power(A) - {Φ} ->A なる選択関数が、任意の集合について存在するという公理が選択公理である。実際に構成してみるのではなく、その存在を示しているという定理。

 

選択公理は、他の公理とは独立であるため、選択公理を採用しない集合論もあってよいはずであるが、実際には多くの数学者がこれを採用している。ZFCのCが選択公理に相当。ただ、選択公理を利用しないでもよい数学の分野は広い。

 

以下に挙げる定理は選択公理の帰結であり、かつ、選択公理と同値であるため、どれか一つでも認めれば(公理として採用すれば)、選択公理を採用としたのと同様の集合論が出来上がる。

  • Hausdorff’s Maximal Principle

  • Zorn’s Lemma

  • well-ordering theorem

 

まあ、有名な話だよねえ。ツォルンの補題とか響きがかっこよすぎる