ゆるゆる べんきょう

暇だから哲学・数学・物理学をゆるく勉強しているよ

無限集合

ここからは、カントール集合論に合流するのでさらっとやって終わりにしよう。章でいうと7章~

 

集合のサイズは 1対1対応の関係でそのサイズを測る。自然数で構成される集合をωと呼ぶ。ωと同じサイズの集合は可算集合であり、整数全体Zや、有理数全体のQが同じサイズに対応する。一方、対角論法を利用することにより、実数全体Rはωよりも大きなサイズであることが示される。

 

一般により大きな集合を作るためには、Powerを作ればよい。このようにして次々と大きい集合の列を作成することがある。一方、ωとRのサイズの間のサイズの大きさの集合があるか?は未解決の問題であり、連続体仮説(ωとω1の間のサイズは存在しない)が提唱されている。

 

連続体仮説は独立な公理だったような気がするが、、、11章でもう一回触れるのでそれまで待つか