北田発見への道 1-2章 - ゆるゆるべんきょう

発見への道

・自然数論を含む理論Sを考える

・Sには反証できない命題Gが存在する＝ゲーデルの第一不完全性定理

・これは統語論的不完全性と呼ばれる

・Gは「私は証明できない」という意味の命題

・Gはメタレベルの命題であり、自身をS自身に「写さない限り」いけないはず

・したがって、ゲーデルの不完全性定理は、統語論的な形式的な演算のみによっておこる不完全性でなく、意味論的な仕掛けが存在することが示唆される

極めてまっとうなことを短い文章にまとめている。惜しむらくは、わかる人にしかわからない文章であるように見える。わかる人には知ってることだし、わからない人にはわからないという・・・・

・第一不完全性定理は、「Sは矛盾するか不完全かである」ともいえる

・第二不完全性定理は「Sが無矛盾ならばその無矛盾性はSにおいて形式化される方法によっては証明できない」

・ヒルベルトプログラムを打ち砕いたのは、第一ではなく、第二の不完全性定理

・ラッセル「プリンキア・マティマティカ」＝論理主義はもはやオワコン

・とは言え直観主義や形式主義に大きな影響を与えた

・直観主義のブラウアーは痛烈に批判

・ヒルベルトは、それに対して理論の取り扱いを直観主義の方法（有限の取り扱い）で回避しようと考えた

・第二不完全性定理がそれを不可能と指摘した

・Sの説明。統語論、推論規則（MP, GEN, SPEC）、公理の紹介

・推論 |- 、定理についての説明

この辺りはまぁ常識なので特に疑問はない