北田 発見への道4章

4章 命題計算の完全性

拡張命題論理と称するモノから完全性に迫る。すなわち命題式の論理式に対して、命題変数の閉包をとる操作を行うと、（自然数論では変数記号に関する閉包をとる限りこのような事情は発生しない）、任意の式は真理値1か0のみをとるようになる。この議論をつぶさに見ると、「真理値1の閉包命題式は拡張命題論理の定理であり、真理値0の閉包命題式の否定は拡張命題論理の定理である」という予測が得られ、ここから「閉包命題式が真理値1をとることと拡張命題論理の定理であることは同値である」、すなわち「命題論理の命題式Aが恒真式であることと、Aが命題論理の定理であることは同値である」ことが予想される。

実際、「命題論理の恒真式は命題論理の定理式である」ことは数学的帰納法を利用することによって確かめられる（メタでは数学的帰納法は有用な道具立てとされる）。また、命題論理において証明可能でない式を公理に加えると体系が矛盾することを示すことができる。

上記をモデルの言葉でいえば、「命題論理の命題式Aが定理式であることは、Aが自然数論Sの任意の構造Mをモデルとすることと同値である」、または「命題論理の命題式Aが定理式であることは、それが恒真式であることと同値である」

以上、命題論理を自然数論の影とする立場からだとこのように拡張された命題論理を持ち出す必要がある（野矢先生の言葉でいえば、自然数論における命題は、変数の閉包をとる限り---すなわち閉じた式-- である限り、自然数論が真偽を決定することに責任を持つべき数論的命題であることに対応する）。証明とか、ヒューリスティックに関しては納得がいくがもう少しやりようはないのだろうか？命題論理をそれ自体として扱うのではなく、自然数論の影として扱うからこのようになるのだろう。まぁ本の主題がゲーデルの定理であるから仕方ないのかもしれないが、命題論理の枠内だけで完全性定理を証明してほしかった。野矢論理学でも完全性の証明ははしょられているわけだし・・・べつのテキストブックを用意する必要がありそうだ。