北田 発見への道 10章 （終）

10章 ゲーデル述語

前章からの続き。ロッサー文およびゲーデル文に出てくる述語を数値的に表現する。その際、自身のゲーデル数を自身に代入するという事情のため、ゲーデルナンバリング自体が数論的操作であることを示す必要があり、じっさいにそれを示す。

以上により、ゲーデル述語を実際に構成してみることにより、ロッサー文、およびゲーデル文で存在が予測されていた述語を帰納的に構成することができ、不完全性定理の証明が完成したことになる。

ゲーデルの不完全性定理が完全に統語論的に導かれたとするならば、ヒルベルトプログラムを挫折させたといえるだろうが、その証明にはその意味論的操作が必要であったことは指摘したとおりである。意味論的な操作により、自己言及的な命題が記述可能になり、自己言及的な命題は様々な矛盾や困難を生み出すことになる。また、メタレベルにおいて対象の形式と同じ道具立てを利用しているというのも注目するべき点である。

最近ではメタな議論に選択公理や集合論の公理を仮定することも珍しくなくなっている。

この章で大体ゲーデルの不完全性定理の証明が終わったかな。結局対角化定理を使わないでロッサー型のゲーデル文を証明することで不完全性定理を証明したと。

残りの2章は哲学的なのでさらっと流すことにして、ブログでは、言及しないことにする。短い中でもなかなか示唆に富んだ良い本だったように思う。