1階命題論理: 統語論と意味論

統語論に関するいくつかのメモ

命題論理の論理式は帰納的に定義できる/命題論理の式全体をFとする. π ∈ F で、 α,β ∈ F ⇒ ￢α , α∧β , α∨β ∈F 。部分集合 Sf も帰納的に定義できる Sf π = {π}, Sf ￢α = {￢α}∪Sf α, Sf α○β = {α○β}∪Sf α ∪ Sf β 

n個の変数からなる論理式Pが与えられたとき、Pが示す関数 f: 2^n → 2 ∈ Bn を一意に指定できる. なお、#Bn = 2^(2^n) である. n個の変数からなる論理式は加算無限個あるが、指示される関数全体の集合 Bn は要素を有限個しか持たない

括弧は読みやすさのために導入される。ポーランド記法など括弧を用いないように統語論を定めることもできるが、通常は括弧を含める。

真理値割り当て w: PV → 2 は、原子論理式全体から2への写像として理解されるが、これにより F→2 も一意に定まることから、 w: F → 2 ということもできるため、別の文字w' などを持ち出す必要はない