JJ桜井 量子力学 4章

対称性に注目すると問題が解けることがある。クーロンポテンシャル中の粒子を考えよう。古典物理ではレンツベクトルが運動の定数であり、実際レンツベクトルを量子化するとハミルトニアンと交換する。適切にスケールさせると、レンツベクトルの各成分はLとの交換関係において閉じた代数を形成する。すなわちSO(4)の対称性をもつ。LとNを適切に混合させると二つの独立した「角運動量」を定義することができる。すなわちSU(2)×SU(2)と分解できることがわかり、簡単に解くことができる。これにより理参加したエネルギーが得られ、これはバルマーの公式と一致する。

空間反転、すなわちパリティを考察する。パリティ演算子πはユニタリかつエルミートであり、固有値は±1をとる。また、πはLやJとも交換する。パリティが奇なのはx,pパリティが偶なのはJ,Lである。エネルギー縮退がない場合はエネルギーの固有ケットはパリティ演算子の固有ケットである。例えば調和振動子の基底状態（パリティ偶）第一励起状態（パリティ奇）。対称性のある井戸型ポテンシャルの場合にも、｜S>、｜A>というようにパリティ奇と偶が波動関数として得られる。ここから|R>,|L>を作ると、これは当然パリティ固有状態ではなく、両者を振動する。振動数は｜S>と｜A>のエネルギー準位の差に依存する。パリティ非保存の例としては弱い力の相互作用のハミルトニアンがあげられる。

非連続平行移動の対称性として結晶内のポテンシャルがあげられる。隣り合う井戸にのみ遷移が可能であるという近似（強く束縛された近似）を行うと、エネルギー固有値である波動関数は、「周期関数u_k(x)で変調された平面波」であると物理的に解釈される。波数k は-a/π~a/πを連続にとる。それに応じてエネルギー固有値も変化し、ブルリアン帯と呼ばれるエネルギーバンドを形成する。

最後に時間反転Θを考察する。Θはケットに作用する反ユニタリー演算子であり、ハミルトニアンと交換する。観測量に関しては時間反転で偶か奇であることが示される。実際、xは偶、p,Lは奇である。スピンを考慮すると、Θ^2 |j,m> = (-1)^m |j,m> が成立する。