北田 発見への道 6章

6章 述語計算の完全性

話を少し戻して、述語論理における対象の変域が有限個と可算無限個の場合では、無矛盾性の議論に違いがあることを指摘。加算無限個の場合では、直観主義で排除されている手法を利用している。これを認めるような述語論理を集合論的述語論理と本書では記述し、以下議論の対象とする（ツッコミ：メタの議論で有限のステップを無視しているのでヒルベルトプログラムの範疇を超えた議論をしているという認識でいいんだよね？）。

「Kを理論Tの命題式の集合とする。KがTに対して整合的であれば、Kは対象領域を自然数論Nとするモデルを持つ」ことが示され、これにより完全性が（有限の議論を超えた道具立てで）示されたことになり、「述語論理の命題式Aが恒真であることと定理式であることは同値である」、または「述語論理の命題式Aが定理式であることは、Aが自然数論の任意の構造Mをモデルとすることである」ことが言える。

最後に、ヒルベルト的なメタの取り扱い方だけでいえる以下の定理を紹介して終わり。

「述語論理に証明可能でない式を公理に加えると、形式的自然数論は、ω矛盾する」これもある意味、述語論理の完全性を含意しているものと思われる。

感想：北田先生は直感的な意味でという言葉を使っているが、これは直観主義的な立場でという意味ではなくて、厳密でないがわれわれの理性がこのように把握しうる、という意味で使っている。読み間違いはないがあまり使ってほしい言葉ではない。

結局ゲーデルはある種の完全性を含意するような説明を、有限の立場を超えた道具立てで示した、ということでよいのだろう。結局野谷先生も言っていたように、メタな議論にどのような道具立てを用意するかは悩ましいのであるなあ。