集合論
2017-04 は集合論を主に学びました --- 最近は集合論を学んでいたようですね そうですね。正確にはBNGの公理的集合論を学んでいたというのが正確な表現になると思います。公理的集合論というのは、カントールが開拓した集合論（素朴集合論）を、論理学の方法…
紀伊国屋書店発行の、大人のための数学３を図書館で借りて読んだ www.amazon.co.jp 素朴集合論の本で、基数・順序数の説明。選択公理の概略。カントールの生涯。若干の叙述的な記載。あくまで入門、というか概要をなめただけなので数時間で読破。哲学的、ま…
頭の整理がてら自然数と、基数、序数についてまとめてみた 有限な例として、A={Jan, Feb, Mar} なる集合の基数を定義に従って求めよう。Aとequiponent な ordinals のclassを考え、その要素の中で最小の ordinals 、すなわち initial ordinals は何かと考え…
要素数・サイズに相当するのがカーディナル数。カーディナル数の公理を導入する（のちの章で構成可能なので、この公理は冗長となる）。 基数に関して、和および積を定義し、それに関する計算が示される。また基数に関しても順序関係≦が定義できる。実際、す…
ここからは、カントールの集合論に合流するのでさらっとやって終わりにしよう。章でいうと7章～ 集合のサイズは 1対1対応の関係でそのサイズを測る。自然数で構成される集合をωと呼ぶ。ωと同じサイズの集合は可算集合であり、整数全体Zや、有理数全体のQが同…
自然数を 0 = Φ, 1 = 0∪{0}, 2=1∪{1}, ... で自然数を定義し、全ての自然数を含むような集合として、suscessor set が存在するという公理を採用する。この公理を用いると、ペアノの各種公理が「証明できる」。 自然数が定義できると、漸化式のような finite …
f: Power(A) - {Φ} ->A なる選択関数が、任意の集合について存在するという公理が選択公理である。実際に構成してみるのではなく、その存在を示しているという定理。 選択公理は、他の公理とは独立であるため、選択公理を採用しない集合論もあってよいはずで…
わかりづらくて忘れやすい概念を図にしてみた。
基本となる概念を大体学んだので、textbookを読み返して、書かれていることを整理してみた。復習というか、リマインダとしては使えると思うので、ここに記載する。 集合論 集合論は、一階述語論理に対し二項述語「∈」を加えて構成される理論である。なお、集…
集合Aにおける順序関係に関連していくつかの用語が定義される。「chain, initial segment, cut」 poset A, B 間の関数f に関して、いくつかの用語が定義できる。「increasing/order-preserving, isomorphism」 (poset A, B 間にisoなfunctionが存在するとき…
同値関係Gが集合Aにおいて定義されるということは、集合Aをパーティション分割することに等しい。パーティションとは、集合をナイフで分割するように、互いに共通部分が存在しないサブクラスを指す。全てのパーティションの和集合をとると、当然Aになる。冒…
集合論でなく、論理学で二項関係はやったので簡単にやっつけられそう 集合論では A×A のサブクラスで関係を定義できる。これは、「サブクラスR に含まれる要素のみが、関係Rを真たらしめるものだ」というように解釈することに相当する。まぁ確かにそう解釈す…
集合論の立場からは、グラフと関数は同一視できる（グラフの概念で関数を定義できる）関数といえば単射・全射・全単射などの性質を定義できる 関数の具体例として、以下があげられる identity function(なにもしない), constant function (値域が一つの値), …
集合論においてアプリオリに存在し、研究の対象とするのは、含み、また含まれる対象である「クラス(A,B,C,...,x,y,z...)」と、含むという二項関係「∈」である この二つの概念を元に、「等しい」、「包含関係（順序関係）」が定義される。「等しい」という関…
